Решите уравнение tgx+ctgx=2 и найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [π; 3π]

Решить данное уравнение можно простым способом.

Запишем ОДЗ:

  • tgx=sinx/cosx; x≠ (π/2)+ πk, k ∈ Z 
  • ctgx=cosx/sinx; x≠ πn, n ∈ Z 

Представить тангенс и котагенс как отношения синусов и косинусов. Сразу же Приводём к общему знаменателю:

(sin2x+cosx)/(sinxcosx)=2

В числителе будет 1 по основному тригонометрическому тожеству.

1/(sinxcosx)=2

sinxcosx=1/2 (умножим на 2 обе части)

2sinxcosx=1

Вспомним популярную формулу sin2x=2sinxcosx

sin2x=1

2x=(π/2)+2πm, m∈Z
x=( π/4)+πm, m∈Z (мы разделили на два, так как выше был двойной угол)

На указанном промежутке будет две точки 5π/4 и 9π/4.

x=( π/4)+πm, m∈Z; 5π/4 и 9π/4

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector