Решите уравнение cos25x+2cos5xsin(x–π/10)+1=0

Условие данной задачи звучит следующим образом:

а) Решите уравнение cos25x+2cos5xsin(x–π/10)+1=0

б) Найдите решения уравнения, принадлежащие промежутку [2016π; 2017π].

Это типичная задача из 13 номера профильной математики ЕГЭ. Решаем для начала уравнение.

Здесь явная замена

cos 5x = a

sin(x–(π/10))=b

Получаем выражение: a2+2a·b+1

Прибавляем и вычитаем b: a2+2ab+b2–b2+1

Преобразуем обратно и выделим квадрат: (сos5x+sin(x–(π/10))2+1–sin2(x–(π/10))=0

Существует правило правило:1–sin2(x–(π/10))=сos2((x–(π/10))

Получаем: (сos5x+sin(x–(π/10))2+cos2(x–(π/10))=0

Оба эти выражения не отрицательны, так как квадрат. А сумма квадратов равна нулю только в случае, если оба выражения равны нулю.

{сos5x+sin(x–(π/10))=0
{cos(x–(π/10))=0


Помним, что cos5x=sin((π/2)–5x), то

sin((π/2)–5x)+sin(x–(π/10))=0

2·sin((2π/10)–2x)·cos((3π/10)–3x)=0

sin((2π/10)–2x)=0 или cos((3π/10)–3x)=0

Следует помнить, что синус функция нечетная, а косинус — четная.

–sin(2х–(2π/10))=0 ⇒ 2х–(2π/10)=πk, k ∈ Z 
2x=(π/5)+πk, k ∈ Z ⇒ x=(π/10)+(π/2)·k, k ∈ Z 

cos(3x–(3π/10))=0 ⇒ 3х–(3π/10)=(π/2)+πn, n ∈ Z 
3x=(3π/10)+(π/2)+πm, m ∈ Z 
x=(π/10)+(π/6)+(π/3)·m, m ∈ Z 
x=(4π/15)+(π/3)·m, m ∈ Z 

Приступаем к решению второго уравнения
cos(x–(π/10))=0
x–(π/10)=(π/2)+πn, n ∈ Z 
⇒ х=(π/10)+(π/2)+πn, n ∈ Z 
х=(6π/10)+πn, n ∈ Z

Решение системы
{ x=(π/10)+(π/2)·k, k ∈ Z или =(4π/15)+(π/3)·m, m ∈ Z 
{ x=(6π/10)+πn, n ∈ Z

Значит это и будет корнем уравнения cos25x+2cos5xsin(x–π/10)+1=0

Подставляем полученное выражение в указанный промежуток (использование тригонометрического круга нерационально из-за больших чисел):

2016π < (6π/10)+πn < 2017π
2016 < (6/10)+n < 2017
20160 < 6+10n < 20170
20154 < 10n < 20164
n=2016

(6π/10)+π·2016=(20166/10)π ∈ [2016π; 2017π]

x=(6π/10)+πn, n ∈ Z и (20166/10)π

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector